Cara menghafal rumus PHYTAGORAS

Sekarang saya akan mencoba membantu anda untuk dapat mudah menghafal rumus pythagoras dengan cepat... silahkan

Judul di atas sepertinya kontras. Matematika mestinya tidak menghafal. Matematika itu ilmu hitung yang tidak perlu dihafal. Kerangka berfikir dalam pelajaran matematika adalah penalaran. Mengedepankan logika.

Salah satu penemuan Pythagoras, seorang filosof Yunani, adalah teorema Pythagoras. Dalili ini menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Konon ilmu ini telah dipakai sebelum Pythagoras lahir. Namun teorema ini disematkan buat Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan secara matematis.

Saat ini, saya sedang mengajar dengan materi teorema Pythagoras untuk kelas 2 SMP. Karena materi ini telah dikenalkan di bangku SD, maka beban transfer ilmu yang saya sampaikan tidak begitu berat. Hanya saja, yang saya dapatkan ketika saya adakan lakukan pre test, pengetahuan siswa masih bersifat statis. Terbukti, setelah saya aplikasikan dalam materi bidang datar (layang-layang, belah ketupat, trapesium dll) dan bidang ruang (kubus, balok, kerucut dll), siswa masih mengalami kesulitan. Padahal, kalau teorema Pythagoras ini dipakai untuk aplikasi, yang dibutuhkan adalah pemahaman pemakaian dalil dan kecepatan (speed).

Siswa yang hanya mengandalkan rumus, biasanya akan terjebak dalam tingkat pengetahuan yang stagnan. Tidak akan pernah memahami esensi pemakaian rumus. Terbukti, bila siswa menghadapi jenis soal yang menampilkan gambar. Lihat gambar berikut :

Untuk mencari panjang diagonal PR, siswa mengalami kebingungan karena sudah terbiasa menggunakan rumus a² = b² + c². Apalagi harus menentukan panjang diagonal ruang PV.

Unsur kecepatan (speed) juga berpengaruh terhadap prestasi siswa. Pada gambar balok diatas. Bila sudah hafal atau terbiasa menggunakan teorema Pythagoras, soal diatas akan selesai kurang dari 10 detik. Sehingga waktu normal mengerjakan satu soal 3 menit, akan tersisa 2 menit 50 detik. Sisa waktu itu bisa dimanfaatkan untuk mengerjakan soal yang lain.

Meskipun, matematika bukan pelajaran hafalan, tetapi ada saat-saat tertentu siswa harus menghafal. Pada tabel Pythagoras di atas, no 1 untuk semua tipe dipakai standar. No 2, no 3 dan seterusnya, hanya merupakan unsur perkalian dari no. 1. Sehingga cukup menghafal no 1, yang biasa dipakai dalam pelajaran.

Kolom tipe 1 dan tipe 2 juga paling sering dipakai. Seorang guru jarang sekali membuat soal diluar daftar tabel di atas. Untuk itu, menghafal teorema Pythagoras sangat bermanfaat dalam menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan segitiga siku-siku. Disamping itu, faktor kecepatan juga sangat penting, dalam menyelesaikan soal-soal terutama ujian nasional.

Teorema Pythagoras dan Penerapannya

Teorema Pythagoras dan Penerapannya – Sobat hitung pasti tidak asing lagi dengan rumus a² + b² = c². Itu adalah rumus dari teorema pythagoras. Kurang lebih 2500 tahun yang lalu seorang filsuf  yunani bernama Pythagoras menemukan fakta menarik tentang segitiga. Beliau menyatakan dalam sebuah segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 90o), kuadrat sisi miringnya akan sama dengan jumlah kuadrat dari 2 sisi yang lain. Mari sobat hitung simak gambar berikut.

Jika kita punya sebuah segitiga siku-siku dengan sisi a,b, dan c
Akan berlaku

a² + b² = c²

dalam teorema yang dikemukakan oleh Pythagoras, sisi c atau sisi miring disebut dengan hipotenusa

Jika kuadrat merupakan luasan persegi, maka berlaku luasan persegi dari panjang sisi a + luasan persegi dari panjang sisi b = luasan panjang dari sisi c. Luasan ini akan kita gunakan untuk membuktikan rumus teorema Pythagoras, simak gambar berikut

dengan melihat gambar di atas maka

Pembuktian Toerema Pythagoras
Banyak cara yang bisa digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema ini. Sobat bisa praktek langsung dengan alat atau menggunakan coret-coretan di kertas. Berikut ini pembuktian paling sederhana tentang kebenaran teorema Pythagoras dengan menggunakan luasan segitiga dan luasan persegi. Jika sobat punya segitiga siku-siku, cobalah menyusunnya membentuk kotak seperti di bawah ini.

Luas Persegi Besar = Luas Persegi
putih Kecil + Luas 4 Segitiga
(a+b)² = c² + 2.a.b
a² + 2ab + b² = c² + 2ab

a² +b² = c²

 Pembuktian teorema Pythagoras lainnya yang bisa sobat hitung lakukan adalah menggunakan tegel lantai, jika lantai rumah ada tegel atau ubinya, coba sobat buat segitiga alas 4 ubin dan tinggi 4 ubin

Coba sobat ukur panjang sisi miring dari segitiga di ubin tersebut (garis warna merah). Jika pengukuran sobat benar maka akan di dapat panjang sisi miring adalah 5 kali panjang ubin.

Penerapan Teorema Pythagoras di kehidupan sehari-hari
1. Penerapan dalam menyelesaikan soal
Banyak soal matematika dan fisika yang untuk menyelesaikannya perlu menggunakan rumus Pythagoras.

contoh soal Pythagoras.
Tentukan diagonal ruang dari balok dengan panjang 3 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 5 cm. Untuk menentukan panjag diagola ruang balok tersebut mau tidak mau kita harus menggunakan rumus Pythagoras.

Diagonal bidang =  √(3² + 4²) =√25 = 5 cm
Diagonal ruang = √(5² + 5²) = √250 = 5√10 cm
2. Penerapan dalam praktek nyata
Penerapan teorema Pythagoras dilakukan di banyak bisang terutama bidang arsitektur. Arsitek menggunakannya untuk mengukur kemiringan bangunan, misalnya kemiringan sebuah tanggul agar mampu menahan tekanan air. Ini juga sangat membantu dalam menentukan biaya pembuatan bangunan. Seorang tukang kayu pun untuk membuat segitiga penguat pilar kayu menggunakan teorema Pythagoras

Cerita - cerita Lucu Matematika

UANG KEMBALIAN

Pada suatu hari seorang guru matematika ingin mengetes kepada murid-muridnya dikarenakan bulan depan sudah memasuki waktu ujian akhir semester.

Guru: “pagi anak-anak..!!”

Murid: “ Pagi juga, bu guru”

Guru: “ hari ini saya ingin mengetes kalian semua, apakah kalian siap?”

Murid:” Siapppppppppppppp!!!!!!!!!!!!”

Guru: “ kemarin saya mempunyai uang Rp1500 dan saya ingin membeli bakso seharga Rp750, lalu berapa kembaliannya?

Murid: “Rp750 buuuuuu”

Guru: “SALAH, yang benar Rp250”

Murid: “kok begitu bu?”

Guru: “ kan uang yang saya kasihkan ke tukang bakso Rp1000, hahaha kena kalian semua”

Murid: “wuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu”

CARA MUDAH BELAJAR MENGHITUNG

Seorang anak 5 tahun sedang belajar matematika bersama gurunya, dan perbincangan pun berlangsung.

Ibu Guru: "Baik nak sekarang kita belajar berhitung!"

Anak : "Aku sudah bisa bu!"

Ibu Guru : "Coba hitung dari 1 s.d. 10"

Anak : "1,2,3,4,5,6,7,8,9,10"

Ibu Guru: "Wah!!! Ternyata kamu pintar, siapa yang mengajari?"

Anak: "Ayah saya bu"

Ibu Guru : "Sekarang coba hitung lebih dari 10, bisa tidak?"

Anak : "Bisa bu!"

Ibu Guru: "Coba!"

Anak : "Jack, Queen, King, As"

PELAJARAN UKUR SUDUT

Suatu hari disebuah ruang kelas, seorang guru matematika mengajarkan sudut segitiga kepada murid-muridnya.

Guru : "Anak-anak sudut ABC sama dengan 60 dera...?"

Murid : "jat!"

Guru : "Sudut BAC sama dengan 60 dera...?"

Murid : "jat!"

Guru : "Jadi kedua sudut itu sama be...?"

Murid : "jat!"

Guru : "#$%!*&..."

DIMANA BAPAKNYA

Soal:

Jika sekarang ibunya 21 tahun lebih tua dari anaknya. 6 tahun kemudian, umur ibunya 5 kali lipat umur anaknya.

Pertanyaannya:

Bapaknya sekarang ada di mana?

Sekali lagi, ini serius!

Silahkan Anda berpikir dan menjawab secara ilmiah/matematis.

Kalau menyerah atau sudah menjawab, silahkan cek jawaban Anda dengan jawaban yang benar di bawah ini.

Sekarang ibunya (I) 21 tahun lebih tua dari anaknya (A).

Berarti: I = A + 21

6 tahun ke depan umur ibunya jadi 5 kali lipat umur anak

I + 6        =  (A + 6) x 5

(A + 21) + 6         =  (A + 6) x 5

A + 27    =  5A + 30

27 – 30  =  5A – A

-3            =  4A

A             =  -3/4

Berarti umur anaknya sekarang – 3/4 thn or – 9 bulan

Berarti anaknya sekarang belum lahir (lahir 9 bulan kemudian)

Kesimpulannya: Sekarang Bapaknya ada di … ATAS Ibunya …

Sssttt. Hahahaha

SEGITIGA SAMA KAKI

pada suatu hari pak den dan murid**nya belajar matematika. nah, pas kabetulan salah satu murid yg bernama anton ditunjuk utk menggambar.

pak den:anton, coba km bikin segitiga sama kaki!!!

anton: maaf pak, sayakan gk bisa bikin segitiga sama kaki., tapi saya bisanya gambar segitiga sama tangan.

7 Tokoh Ilmuwan Matematika Islam

1. Al-Khawarizm

Mungkin kita sudah sering mendengar istilah algoritma, Dalam kamus besar bahasa Indonesia algoritma berarti prosedur sistematis untuk memecahkan masalah matematis dalam langkah-langkah terbatas. Sebenarnya nama algoritma diambil dari nama julukan penemunya yaitu al-Khawarizmi seorang matematikawan muslim yang dilahirkan di Khawarizm, Uzbekistan.
Al-Khawarizmi (Khawarizm,Uzbekistan, 194 H/780 M-Baghdad, 266 H/850 M). Ilmuwan muslim, ahli di bidang ilmu matematika, astronomi, dan geografi. Nama lengkapnya adalah Abu Ja’far Muhammad bin Musa al-Khawarizmi dan di barat ia lebih dikenal dengan nama Algoarisme atau Algorisme.
Dalam bukunya al-Khawarizmi memperkenalkan kepada dunia ilmu pengetahuan angka 0 (nol) yang dalam bahasa arab disebut sifr. Sebelum al-Khawarizmi memperkenalkan angka nol, para ilmuwan mempergunakan abakus, semacam daftar yang menunjukkan satuan, puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya, untuk menjaga agar setiap angka tidak saling tertukar dari tempat yang telah ditentukan dalam hitungan. Akan tetapi, hitungan seperti ini tidak mendapat sambutan dari kalangan ilmuwan Barat ketika itu dan mereka lebih tertarik untuk mempergunakan raqam al-binji (daftar angka arab, termasuk angka nol), hasil penemuan al-khawarizmi. Dengan demikian angka nol baru dikenal dan dipergunakan orang Barat sekitar 250 tahun setelah ditemukan al-Khawarizmi.

2. Al-Kindi

Al-Kindi hidup pada masa penerjemahan besar-besaan karya-karya Yunani ke dalam bahasa Arab. Dan memang, sejak didirikannya Bayt al-Hikmah oleh al-Ma’mun, al-Kindi sendiri turut aktif dalam kegiatan penerjemahan ini. Di samping menerjemah, al-Kindi juga memperbaiki terjemahan-terjemahan sebelumnya. Karena keahlian dan keluasan pandangannya, ia diangkat sebagai ahli di istana dan menjadi guru putra Khalifah al-Mu’tasim, Ahmad.
Ia adalah filosof berbangsa Arab dan dipandang sebagai filosof Muslim pertama. Memang, secara etnis, al-Kindi lahir dari keluarga berdarah Arab yang berasal dari suku Kindah, salah satu suku besar daerah Jazirah Arab Selatan. Salah satu kelebihan al-Kindi adalah menghadirkan filsafat Yunani kepada kaum Muslimin setelah terlebih dahulu mengislamkan pikiran-pikiran asing tersebut.
Al-Kindi telah menulis hampir seluruh ilmu pengetahuan yang berkembang pada saat itu. Tetapi, di antara sekian banyak ilmu, ia sangat menghargai matematika. Hal ini disebabkan karena matematika, bagi al-Kindi, adalah mukaddimah bagi siapa saja yang ingin mempelajari filsafat. Mukaddimah ini begitu penting sehingga tidak mungkin bagi seseorang untuk mencapai keahlian dalam filsafat tanpa terlebih dulu menguasai matematika. Matematika di sini meliputi ilmu tentang bilangan, harmoni, geometri dan astronomi.

3.Al-Karaji

Di era keemasan Islam, para ilmuwan Muslim memang telah menguasai bidang hidrologi. Penguasaan di bidang ini meliputi masalah penyediaan berbagai sarana air bersih, pengendalian gerakan air, serta penemuan berbagai teknologi hidrologi.
Ilmuwan Muslim pada masa itu telah mampu mengintegrasikan, mengadaptasi dan memperbaiki teknik irigasi dan metode distribusi air warisan dari keahlian lokal atau peradaban kuno. Pada awal abad ke-8 M, peradaban Islam telah menguasai teknologi mesin air.
Hal itu diungkapkan Mohammed Abattouy dalam karyanya bertajuk Muhammad Al-Karaji: A Mathematician Engineer from the Early 11th Century. Menurut Abattouy, pengusaan teknologi mesin air di dunia Islam telah melahirkan sebuah revolusi pertanian yang berbasis pada penguasaan di bidang hidrologi.
Sejarawan sains modern memandang al-Karaji sebagai ahli matematika berkaliber tertinggi. Karyanya yang kekal pada bidang matematika masih diakui hingga hari ini, yakni mengenai kanonik tabel koefisien binomium (dalam pembentukan hukum dan perluasan bentuk).
Al-Karaji dianggap sebagai ahli matematika terkemuka dan pandang sebagai orang pertama yang membebaskan aljabar dari operasi geometris yang merupakan produk aritmatika Yunani dan menggantinya dengan jenis operasi yang merupakan inti dari aljabar pada saat ini.
Karyanya pada aljabar dan polynomial memberikan aturan pada operasi aritmatika untuk memanipulasi polynomial. Dalam karya pertamanya di Prancis, sejarawan matematika Franz Woepcke (dalam Extrait du Fakhri, traite d’Algèbre par abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi, Paris, 1853), memuji Al-Karaji sebagai ahli matematika pertama di dunia yang memperkenalkan teori aljabar kalkulus
Al-Karaji menginvestigasikan koefisien binomium segitiga Pascal. Dia juga yang pertama menggunakan metode pembuktian dengan induksi matematika untuk membuktikan hasilnya, ia berhasil membuktikan kebenaran rumus jumlah integral kubus, yang sangat penting hasilnya dalam integral kalkulus.

4. Al-Batani

Zaman keemasan Islam juga melahirkan pakar-pakar di bidang trigonometri. Mereka antara lain adalah Al-Battani (850-929), Al-Biruni (973-1050), dan Umar Khayyam. Al-Battani atau Muhammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu Abdullah dikenal sebagai bapak trigonometri. Ia lahir di Battan, Mesopotamia, dan meninggal di Damaskus pada tahun 929. Al-Battani adalah tokoh bangsa Arab dan gubernur Syria. Dia merupakan astronom Muslim terbesar dan ahli matematika ternama.
Al-Battani melahirkan trigonometri untuk level lebih tinggi dan orang pertama yang menyusun tabel cotangen.

5. Al-Biruni

Al-Biruni adalah peletak dasar-dasar trigonometri modern. Dia seorang filsuf, ahli geografi, astronom, ahli fisika, dan pakar matematika. Enam ratus tahun sebelum Galgeo, Al-Biruni telah membahas teori-teori perputaran (rotasi) bumi pada porosnya.
Al-Biruni juga memperkenalkan pengukuran-pengujuran geodesi dan menentukan keliling bumi dengan cara yeng lebih akurat. Dengan bantuan matematika, dia dapat menentukan arah kiblat dari berbagai macam tempat di dunia.

6. Umar Khayam


Selain itu, tokoh matematika lain yang tak kalah terkenal adalah Umar Khayyam. Kendati ia lebih dikenal sebagai seorang penyair, namun Umar Khayyam memiliki kontribusi besar dalam bidang matematika, terutama dalam bidang aljabar dan trigonometri. Ia merupakan matematikawan pertama yang menemukan metode umum penguraian akar-akar bilangan tingkat tinggi dalam aljabar, dan memperkenalkan solusi persamaan kubus.

7. Ibnu Sina

seorang tokoh cendekiawan muslim yang besar di bidang kedokteran, seorang ilmuwan yang magnum opus-nya berjudul Canon (al-Qanun fi al-Tibb) menjadi buku teks kedokteran di universitas-universitas Eropa selama lebih dari 5 abad. Selain itu, dia juga seorang ahli geologi, ahli matematika (termasuk aljabar yang merupakan kesatuan dari eksponen), ahli fisika, penyair, psikolog, ilmuwan, tentara, negarawan, dan seorang guru. Lahir di daerah Bukhara, Asia Tengah, pada tahun 981 Masehi. Bakat dan ketekunannya yang besar mengantarkan menjadi dokter yang diakui masyarakat Bukhara pada usia17 tahun. Bagi banyak orang, beliau adalah “Bapak Pengobatan Modern”. Dia juga pendiri Avicennian logika dan filosofis dari sekolah Avicennism, yang berpengaruh pada kaum Muslim dan sekolah pemikir

teori belajar, teori pembelajaran dan pembelajaran matematika menurut para ahli-ahli

1.      Teori Belajar

Menurut Slameto (2010: 2) belajar adalah suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya. Suatu aktivitas yang dilakukan secara sadar untuk mendapatkan sejumlah kesan dari bahan yang telah dipelajari (Djamarah, 2012: 21). Hasil dari aktivitas belajar terjadilah perubahan dalam diri individu. Sebaliknya, bila tidak terjadi perubahan dalam diri individu, maka belajar dikatakan tidak berhasil.

Menurut Burton, dalam sebuah buku “The Guidance of Learning Avtivities” (Aunurrahman, 2010: 35) belajar sebagai perubahan tingkah laku  pada diri individu berkat adanya interaksi antara individu dengan individu dan individu dengan lingkungannya sehingga mereka mampu berinteraksi dengan lingkungannya.

Belajar adalah proses mendapatkan pengetahuan (Suprijono, 2009: 3). Sedangkan belajar menurut Aunurrahman (2010: 38) adalah proses orang memperoleh berbagai kecakapan, keterampilan, dan sikap. Kemampuan orang untuk belajar menjadi ciri-ciri penting yang membedakan jenisnya dari jenis–jenis mahluk lain, Gredler (Aunurrahman, 2010: 38). Dalam konteks ini seseorang dikatakan belajar bilamana terjadi perubahan, dari sebelumnya tidak mengetahui sesuatu menjadi mengetahui.

a.         Ciri–ciri perubahan tingkah laku dalam pengertian belajar :

1)        Perubahan terjadi secara sadar.

Ini berarti bahwa seseorang yang belajar akan menyadari terjadinya perubahan itu atau sekurang–kurangnya ia meresakan telah terjadi adanya suatu perubahan dalam dirinya.

2)        Perubahan dalam belajar bersifat kontinu dan fungsional.

Perubahan yang terjadi dalam diri seseorang berlangsung secara berkesinambungan, tidak statis. Satu perubahan yang terjadi  akan menyebabkan perubahan berikutnya dan akan berguna bagi kehidupan ataupun proses belajar berikutnya.

3)        Perubahan dalam belajar bersifat positif dan aktif.

Perubahan bersifat positif artinya dalam belajar senantiasa bertambah dan tertuju untuk memperoleh yang lebih baik dari sebelumnya. Sedangkan perubahan bersifat aktif artinya perubahan itu tidak terjadi dengan sendirinya melainkan karena ada usaha individu sendiri.

4)        Perubahan dalam belajar bukan bersifat sementara.

Ini berarti bahwa tingkah laku yang terjadi setelah belajar akan bersifat menetap.

5)        Perubahan dalam belajar bertujuan atau terarah.

Ini berarti bahwa perubahan tingkah laku itu terjadi karena ada tujuan yang akan dicapai.

6)        Perubahan mencakup seluruh aspek tingkah laku.

Perubahan tingkah laku secara menyeluruh dalam sikap, keterampilan, pengetahuan dan sebagainya.

b.        Prinsip–prinsip belajar adalah sebagai berikut:

1)        Berdasarkan prasyarat yang diperlukan untuk belajar.

(1)      Dalam belajar setiap siswa harus diusahakan partisipasi aktif, meningkatkan minat dan membimbing untuk mencapai tujuan instruksional.

(2)      Belajar harus dapat menimbulkan reinforcement dan motivasi yang kuat pada siswa untuk mencapai tujuan instruksional.

(3)      Belajar perlu lingkungan yang menantang  di mana anak dapat mengembangkan kemampuannya bereksplorasi dan belajar dengan efektif.

(4)      Belajar perlu ada interaksi siswa dengan lingkungannya.

2)        Sesuai hakikat belajar

(1)      Belajar itu proses kontinu, maka harus tahap demi tahap menurut perkembangannya.

(2)      Belajar adalah proses organisasi, adaptasi, eksplorasi, dan discovery.

(3) Belajar adalah proses kontinguitas (hubungan antara pangertian yang satu dengan pengertian yang lain) sehingga mengharapkan pengertian yang diharapan.

3)        Sesuai materi atau bahan yang harus dipelajari

(1)      Belajar bersifat keseluruhan dan materi itu harus memiliki struktur, penyajian yang sederhana, sehingga siswa mudah menangkap pengertiannya.

(2)      Belajar harus mengembangkan kemampuan tertentu sesuai dengan tujuan instruksional yang harus dicapainya.

4)        Syarat keberhasilan belajar

(1)      Belajar memerlukan sarana yang cukup, sehingga siswa dapat belajar dengan tenang.

(2)      Repetisi, dalam proses belajar perlu ulangan berkali–kali agar perhatian, keterampilan, sikap itu mendalam pada siswa.

Berdasarkan beberapa pengertian belajar yang dikemukan oleh para ahli di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa belajar bukan menghafal dan bukan pula mengingat. Belajar adalah suatu proses yang ditandai dengan adanya perubahan dalam diri seseorang. Perubahan sebagai hasil proses belajar dapat ditunjukkan dalam berbagai bentuk seperti bertambahnya pengetahuan, pemahaman, sikap, tingkah laku, keterampilan, kecakapan, dan kemampuan. Oleh karena itu, belajar adalah proses yang diarahkan kepada tujuan, proses berbuat melalui berbagai pengalaman seperti seperti proses melihat, mengamati, dan memahami sesuatu.

2.      Teori Pembelajaran

Menurut Syahrir (2010: 6) pembelajaran adalah suatu proses atau serangkaian kegiatan jiwa raga untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku sebagai hasil dari pengalaman individu dalam interaksi dengan lingkungannya yang menyangkut unsur cipta, rasa, dan karsa, ranah kognitif, afektif, dan psikomotorik.

Pembelajaran merupakan suatu proses yang kompleks, karena dalam kegiatan pembelajaran senantiasa mengintegrasikan berbagai komponen dan kegiatan, yaitu siswa dengan lingkungan belajar untuk diperolehnya perubahan tingkah laku (hasil belajar) sesuai dengan tujuan (kompetensi) yang diharapkan (Rusman, 2010: 116).

Surya (Rusman, 2010: 116) menjelaskan bahwa pembelajaran adalah suatu proses yang dilakukan individu untuk memperoleh suatu perubahan perilaku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil dari pengalaman individu sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya.

Berdasarkan pengertian pembelajaran yang dikemukakan para ahli di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa pembelajaran adalah suatu proses yang dilakukan individu untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan. Perubahan tersebut adalah sebagai hasil dari pengalaman individu dalam interaksi dengan lingkungannya yang menyangkut unsur cipta, rasa, dan karsa, ranah kognitif, afektif, dan psikomotorik.

3.      Pembelajaran Matematika

Aunurrahman (2010: 2) mengatakan pembelajaran akan berfokus pada pengembangan kemampuan intelektual yang berlangsung secara sosial dan kultural, mendorong siswa membangun pemahaman dan pengetahuannya sendiri dalam konteks sosial, dan belajar dimulai dari pengetahuan awal dan perspektif budaya.

Menurut Suprijino (2009: 13) pembelajaran berdasarkan makna leksikal berarti proses, cara, perbuatan mempelajari. Perbedaan esensil istilah ini dengan pengajaran adalah pada tindak ajar. Pada pengajaran guru mengajar, peserta didik belajar, sementara pembelajaran guru mengajar diartikan sebagai upaya guru mengorganisir lingkungan terjadinya pembelajaran. Pembelajaran berpusat pada peserta didik. Pembelajaran merupakan proses organik dan konstruktif, bukan mekanis seperti halnya pengajaran.

Menurut Aqib (Syahrir, 2010: 6) pembelajaran adalah suatu kombinasi yang disusun, meliputi unsur manusia, material, fasilitas, perlengkapan dan rancangan yang saling mempengaruhi untuk mencapai tujuan pembelajaran. Sedangkan menurut Hamalik (Syahrir, 2010: 7) pembelajaran adalah upaya mengorganisasi lingkungan untuk menciptakan kondisi belajar bagi peserta didik.

Menurut Syahrir (2010: 8) matematika berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari–hari melalui materi pengukuran, geometri, aritmatika sosial, peluang, dan statistik. Lebih lanjut Syahrir (2010: 84) mengungkapkan bahwa matematika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang bilangan dan bangun (datar dan ruang) lebih menekankan pada materi matematikanya.

Menurut Tinggih (Hudojo, 2005: 4) matematika tidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan serta operasi-operasinya, melainkan juga unsur ruang sebagai sasarannya. Matematika adalah suatu pelajaran yang tersusun secara beraturan, logis, berjenjang dari yang paling mudah hingga yang paling rumit. Dengan demikian, pelajaran matematika tersusun sedemikian rupa sehingga pengertian terdahulu lebih mendasari pengertian berikutnya. Mempelajari matematika tidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan serta operasi-operasinya, melainkan matematika berkenaan dengan ide-ide, struktur-struktur dan hubungan-hubungan yang diatur menurut urutan yang logis (http://www.sarjanaku.com/2010/09/hakikat-matematika.html)

sifat-sifat bangun datar

Sifat-sifat Bangun Datar. Bangun datar dapat didefinisikan sebagai bangun yang rata yang mempunyai dua demensi yaitu panjang dan lebar, tetapi tidak mempunyai tinggi atau tebal (Julius Hambali, Siskandar, dan Mohamad Rohmad, 1996) Berdasarkan pengertian tersebut dapat ditegaskan bahwa bangun datar merupakan bangun dua demensi yang hanya memiliki panjang dan lebar, yang dibatasi oleh garis lurus atau lengkung. Bangun datar terdiri dari persegi panjang, persegi, segitiga, trapesium, belahketupat, jajargenjang, layang-layang, dan lingkaran. Nama-nama Bangun Datar antara lain sebagai berikut.

Persegi Panjang, yaitu bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan yang sama panjang, dan memiliki empat buah titik sudut siku-siku.  Persegi, yaitu persegi panjang yang semua sisinya sama panjang. Segitiga, yaitu bangun datar yang terbentuk oleh tiga buah titik yang tidak segaris.. macam macamnya: segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga siku-siku, segitiga sembarang Jajar Genjang, yaitu segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar. Trapesium, yaitu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar.

• Layang-layang, yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya.
• Belah Ketupat, yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus.
• Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius, atau jari-jari.

Berikut ini sifat-sifat bangun datar tersebut :

Persegi Panjang
Sifat - sifat :

• Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
• Memiliki 2 pasang sisi sejajar, berhadapan dan sama panjang
• Memiliki 4 sudut yang besarnya 90 derajat
• Keempat sudutnya siku-siku
• Memiliki 2 diagonal yang sama panjang
• Memiliki 2 simetri lipat
• Memiliki Simetri putar tingkat 2
• Luas = p x l
• Keliling = 2(p+l)

Persegi
Sifat - sifat :

• Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
• Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang
• Keempat sisinya sama panjang
• Keempat Sudutnya sama besar yaitu 90 derajat (siku-siku)
• Memiliki 4 simetri lipat
• Memiliki simetri putar tingkat 4
• Luas = s x s
• Keliling = 4 x s

Jajar Genjang
Sifat-sifat :

• Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
• Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang
• Memiliki 2 sudut tumpul dan 2 sudut lancip
• Sudut yang berhadapan sama besar
• Diagonalnya tidak sama panjang
• Tidak memiliki simetri lipat
• Memiliki simetri putar tingkat 2
• Luas = a x t
• Keliling = AB + BC + CD + AD

Belah Ketupat
Sifat - sifat :

• Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
• Keempat sisinya sama panjang
• Memiliki 2 pasang sudut yang berhadapan sama besar
• Diagonalnya berpotongan tegak lurus
• Memiliki 2 simetri lipat
• Memiliki simetri putar tingkat 2
• Luas = ½ AC x BD
• Keliling = AB + BC + CD + AD

Layang- layang
Sifat - sifat :

• Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
• Memiliki 2 pasang sisi yang sama panjang
• Memiliki 2 sudut yang sama besar
• Diagonalnya berpotongan tegak lurus
• Salah satu diagonalnya membagi diagonal yang lain sama panjang
• Memiliki 1 simetri lipat.   
• Luas = ½ x AC x BD
• Keliling = AB + BC + CD + AD 

Trapesium
Sifat -sifat 

• Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
• Memiliki sepasang sisi yang sejajar tetapi tidak sama panjang
• Sudut - sudut diantara sisi sejajar besarnya 180 derajat
• Luas = (a+b) x t/2
• Keliling = AB + BC + CD + AD

Trapesium dibedakan menjadi 3 yaitu :

• Trapesium sama kaki : Sisi diantara sisi sejajar sama panjang. Memiliki 2 pasang sudut yang sama besar, diagonalnya sama panjang, Memiliki 1 simetri lipat. 
• Trapesium siku-siku : Memiliki 2 sudut siku-siku. Diagonalnya tidak sama panjang. Tidak memiliki simetri lipat.
• Trapesium sembarang : Keempat sisinya tidak sama panjang, Keempat sudutnya tidak sama besar. Diagonalnya tidak sama panjang, Tidak memiliki simetri lipat.

Segitiga

Sifat-sifat

• Mempunyai 3 sisi dan 3 titik sudut
• Jumlah ketiga sudutnya 180 derajat 
• Luas = ½ x a x t
• Keliling = AB + BC + AC  

Berdasarkan panjang sisinya segitiga dibagi menjadi 4 yaitu :

1. Segitiga samasisi :

• Mempunyai 3 buah sisi sama panjang, yaitu AB=BC=CA;
• Mempunyai 3 buah sudut yang besar , yaitu <ABC , <BCA, <CAB;
• Mempunyai 3 sumbu simetri.
• Mempunyai 3 simetri putar dan 3 simetri lipat

2. Segitiga samakaki :

• Mempunyai 2 buah sisi yang sama panjang, yaitu BC=AC;
• Mempunyai 2 buah sudut sama besar, yaitu < BAC = <ABC;
• Mempunyai 1 sumbu simetri;
• Dapat menempati bingkainya dalam dua cara

3. Segitiga siku-siku :

• Mempunyai 1 buah sudut siku-siku,yaitu <BAC; 
• Mempunyai 2 buah sisi yang saling tegak lurus, yaitu BA dan AC;
• Mempunyai 1 buah sisi miring yaitu BC;
• Sisi miring selalu terdapat di depan sudut siku-siku.
• Segitiga siku-siku samakaki memiliki 1 sumbu simetri

4. Segitiga sembarang

•  Mempunyai 3 buah sisi yang tidak sama panjang;
•  Mempunyai 3 buah sudut yang tidak sama besar.

Lingkaran

Sifat-sifat :

• Mempunyai 1 sisi;
• Memiliki simetri putar dan simetri lipat tak terhingga;
• Luas = πr² ;
• Keliling = 2πr ;

Ditulis dalam label :Ujian Nasional

Rumus Bangun Ruang Matematika

1.    Kubus

 Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar.

a.    Luas Permukaan kubus
              L= 6 a2
b.    Volume Kubus
V = a x a x a atau V = a3

2. Balok

Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang yang berbentuk persegi panjang dan sepasang-sepasang kongruen.

Keterangan :
p = panjang balok
l =lebar balok
t = tinggi balok
a.    Luas balok:
     L = 2 (p.l +p.t + l.t)
b.    Volume balok:
V = p x l x t

3.Tabung (silinder)

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi yang kongruen dan sejajar yang berbentuk lingkaran serta sebuah sisi lengkung.

Keterangan:

r = jari-jari tutup/alas tabung                    t = tinggi tabung

Volume tabung = luas alas x tinggi              

Luas alas = luas lingkaran = πr2

Volume tabung = π r 2 t

Keliling lingkaran alas/tutup = 2πr

Luas Selimut= 2πrt

Luas Permukaan Tabung = 2 x luas alas + Luas selimut tabung

Luas Permukaan Tabung = 2 (π r 2 )+ 2 π r t = 2 π r ( r + t )

4. Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung.

 Keterangan:

r = jari-jari alas kerucut                        t = tinggi kerucut
Luas selimut = π x r x s

Luas alas = π x r 2

Luas Permukaan kerucut = Luas alas + Luas Selimut

Luas Permukaan kerucut = πr2 + πrs = π r (r + s)

Volume Kerucut =1/3 x Luas alas x tinggi = 1/3 π r2 t

5. Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang sejajar dimana bidang-bidang sejajar tersebut merupakan bidang atas dan bidang atas (tutup).

Rumus-rumus pada prisma:
Luas Permukaan Prisma                V = L alas x t
Luas = (2 x luas alas) + luas sisi tegak
Volume Prisma

6.Limas 

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi sebagai bidang alas dan beberapa bidang tegak berbentuk segitiga.

Volume Limas :
Volume = luas alas x tinggi x

7. Bola

R = jari-jari bola
Luas Permukaan bola
Luas = 4

Satuan Ukuran Panjang, Luas, Berat dan Isi

•  Konversi Satuan Ukuran Panjang

Perhatikan gambar berikut :

keterangan:

km=kilometer

hm = hektometer

dam = dekameter

m = meter

dm= desimeter

cm = centimeter

mm = milimeter

Dalam satuan ukuran panjang,untuk mengkonversi ukuran panjang dari suatu tingkat ke satu tingkat di bawahnya adalah dikalikan dengan 10. Sedangkan untuk mengkonversi dari suatu tingkat ke satu tingkat di atasnya dibagi dengan  10.

 Contoh :

- 1 km = 10 hm
- 1 km = 1.000 m
- 1 m = 0,1 dam
- 1 m = 0,001 km
- 1 m = 10 dm
- 1 m = 1.000 mm

catatan:

1 inch / inchi / inc / inci = 25,4 mm
1 feet / ft / kaki = 12 inch = 0,3048 m
1 mile / mil =  5.280 feet = 1,6093 m
1 mil laut  = 6.080 feet = 1,852 km

1 mikron = 0,000001 m
1 elo lama = 0,687 m
1 P.jawa = 1.506,943 m
1 P. sumatera = 1.851,85 m
1 acre = 4.840 yards2
1 cicero = 12 punt
1 cicero = 4,8108 mm
1 hektar = 2,471 acres
1 inchi = 2,45 cm

• Konversi Satuan Ukuran Luas

Satuan ukuran luas sama dengan ukuran panjang namun untuk mejadi satu tingkat di bawah dikalikan dengan 100. Begitu pula dengan kenaikan satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 100. Satuan ukuran luas tidak lagi meter, akan tetapi meter persegi (m2 = m pangkat 2).

- 1 km2 = 100 hm2
- 1 km2 = 1.000.000 m2
- 1 km2 = 10.000.000.000 cm2
- 1 km2 = 1.000.000.000.000 mm2
- 1 m2 = 0,01 dam2
- 1 m2 = 0,000001 km2
- 1 m2 = 100 dm2
- 1 m2 = 1.000.000 mm2

- 1 hektar / ha / hekto are = 10.000 m2
- 1 are = 1 dm2
- 1 km2 = 100 hektar

• Konversi Satuan Ukuran Isi atau Volume

Satuan ukuran luas sama dengan ukuran panjang namun untuk mejadi satu tingkat di bawah dikalikan dengan 1000. Begitu pula dengan kenaikan satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 1000. Satuan ukuran luas tidak lagi meter, akan tetapi meter kubik (m3 = m pangkat 3).

- 1 km3 = 1.000 hm3
- 1 km3 = 1.000.000.000 m3
- 1 km3 = 1.000.000.000.000.000 cm3
- 1 km3 = 1.000.000.000.000.000.000 mm3
- 1 m3 = 0,001 dam3
- 1 m3 = 0,000000001 km3
- 1 m3 = 1.000 dm3
- 1 m3 = 1.000.000.000 mm3

1 liter / litre = 1 dm3 = 0,001 m3

• Konversi Satuan Ukuran Berat atau Massa

keterangan:

kg = kilogram 

hm = hektogram

dam = dekagram

m = gram

dm= desigram

cm = centigram

mm = miligram

Satuan ukuran berat konversinya sama dengan satuan ukuran panjang, namun satuan meter diganti menjadi gram. Untuk satuan berat tidak memiliki turunan gram persegi maupun gram kubik. 

Contoh :

- 1 kg = 10 hg
- 1 kg = 1.000 g
- 1 kg = 100.000 cg
- 1 kg = 1.000.000 mg
- 1 g = 0,1 dag
- 1 g = 0,001 kg
- 1 g = 10 dg
- 1 g = 1.000 mg

catatan:

- 1 kuintal / kwintal = sama dengan = 100 kg
- 1 ton = 1.000 kg
- 1 kg = 10 ons
- 1 kg = 2 pounds